UTS Aljabar Linier 2025

PDF arsip hanya berisi satu halaman berlabel cetak 2/2; halaman ini memuat nomor 1–4, bagian A dan B; isi halaman cetak pertama tidak tersedia untuk diverifikasi. Rujukan halaman pada daftar di atas mengikuti posisi halaman dalam file PDF.

Soal 1 — Vektor u dan v

Dari scan, $u=(\sqrt3,1,0)$ dan $v=(1,0,\sqrt3)$.

a. Besaran

$\|u\|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2+0^2}=\boxed2.$

b. Arah

Vektor satuan searah u adalah $\hat u=(\sqrt3/2,1/2,0)$. Kosinus arah terhadap sumbu x, y, z adalah komponennya, sehingga sudut arahnya 30°, 60°, 90°. Bila yang ditanyakan hanya sudut dalam bidang xy terhadap sumbu x positif, jawabannya 30°; u memang berada di bidang xy.

c. Cross product

$u\times v=(u_yv_z-u_zv_y,\ u_zv_x-u_xv_z,\ u_xv_y-u_yv_x)=(\sqrt3,-3,-1).$

Pengecekan ortogonal: $(\sqrt3,-3,-1)\cdot u=3-3=0$ dan hasil kali titik dengan v juga $\sqrt3-\sqrt3=0$. Urutan perkalian penting: v × u adalah negatif hasil ini.

Soal 2 — Rank matriks

Matriksnya memiliki baris (1,2,3,4), (5,6,7,8), (9,10,11,12), (13,14,15,16). Kurangi 5, 9, 13 kali baris pertama dari tiga baris berikutnya. Baris sisa menjadi (0,−4,−8,−12), dua kali baris tersebut, dan tiga kali baris tersebut. Jadi hanya ada dua baris independen.

Setelah normalisasi pivot, RREF-nya:

$\begin{pmatrix}1&0&-1&-2\\0&1&2&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$

Maka rank A = 2. Determinan nol hanya membuktikan rank kurang dari 4, belum cukup untuk menyimpulkan tepat 2. Dua pivot memberi bukti lengkap.

Soal 3 — Adjoin, determinan dan invers

Untuk nomor ini A berbeda dari nomor 2:

$A=\begin{pmatrix}1&4&2\\2&1&3\\1&1&-1\end{pmatrix}.$

a. Adjoin

Hitung minor lalu kalikan pola tanda kofaktor $(-1)^{i+j}$. Contoh $C_{11}=1(-1)-3(1)=-4$ dan $C_{12}=-[2(-1)-3(1)]=5$. Matriks kofaktor dan transposenya:

$C=\begin{pmatrix}-4&5&1\\6&-3&3\\10&1&-7\end{pmatrix},\qquad \operatorname{adj}(A)=C^T=\boxed{\begin{pmatrix}-4&6&10\\5&-3&1\\1&3&-7\end{pmatrix}}.$

Adjoin/adjugate di sini adalah transpose kofaktor; bukan transpose A saja.

b. Determinan dengan ekspansi kofaktor

Ekspansi baris pertama memberi $\det(A)=1(-4)+4(5)+2(1)=\boxed{18}$. Tanda minus kolom kedua sudah masuk dalam C₁₂, jadi jangan menguranginya sekali lagi.

c. Invers

Karena determinan bukan nol:

$\boxed{A^{-1}=\frac1{18}\begin{pmatrix}-4&6&10\\5&-3&1\\1&3&-7\end{pmatrix}}.$

Verifikasi perkalian A dengan adjoin memberi 18I: misalnya entri (1,1) = −4 + 20 + 2 = 18 dan (1,2) = 6 − 12 + 6 = 0. Membagi 18 menghasilkan identitas.

Soal 4 — Gauss–Jordan untuk sistem persamaan

Matriks augmented awal:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&2&9\\2&4&-3&2\\3&6&-5&0\end{array}\right].$

1. Lakukan R₂ ← R₂ − 2R₁ dan R₃ ← R₃ − 3R₁. Baris kedua (0,2,−7 | −16), ketiga (0,3,−11 | −27).
2. Lakukan R₃ ← 2R₃ − 3R₂ untuk mendapatkan (0,0,−1 | −6), lalu R₃ ← −R₃ sehingga z = 6.
3. Lakukan R₂ ← (R₂ + 7R₃)/2 sehingga (0,1,0 | 13).
4. Lakukan R₁ ← R₁ − R₂ − 2R₃ sehingga (1,0,0 | −16).

Hasil RREF adalah $[I\mid(-16,13,6)^T]$, jadi x = −16, y = 13, z = 6. Substitusi memberi −16 + 13 + 12 = 9; −32 + 52 − 18 = 2; dan −48 + 78 − 30 = 0, sesuai ketiga ruas kanan.