b belajar.myudak

Sistem persamaan linier & eliminasi Gauss–Jordan

Bentuk matriks Ax = b, operasi baris elementer, eselon baris tereduksi, determinan, dan invers.

dasar #aljabar linier#matriks#SPL#determinan

Latihan UTS & UAS ↓

Sistem persamaan linier (SPL) dengan nn variabel bisa ditulis ringkas sebagai persamaan matriks Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}:

2x1+x2−x3=8−3x1−x2+2x3=−11−2x1+x2+2x3=−3⟺[21−1−3−12−212][x1x2x3]=[8−11−3]\begin{aligned} 2x_1 + x_2 - x_3 &= 8 \\ -3x_1 - x_2 + 2x_3 &= -11 \\ -2x_1 + x_2 + 2x_3 &= -3 \end{aligned} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -11 \\ -3 \end{bmatrix}

Operasi Baris Elementer (OBE)

Tiga operasi yang tidak mengubah himpunan solusi SPL:

  1. Menukar dua baris: Ri↔RjR_i \leftrightarrow R_j
  2. Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol: Ri←kRiR_i \leftarrow k R_i
  3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain: Ri←Ri+kRjR_i \leftarrow R_i + k R_j

Eliminasi Gauss memakai OBE untuk membawa matriks augmented [A∣b][A \mid \mathbf{b}] ke bentuk eselon baris (segitiga atas), lalu menyelesaikannya dengan substitusi mundur. Gauss–Jordan melanjutkan sampai eselon baris tereduksi (RREF): setiap leading 1 menjadi satu-satunya entri tak nol di kolomnya, sehingga solusi langsung terbaca.

Matriks & sistem persamaan linier (Ax = b)
|||
det(A)
-1
Tidak nol → A punya invers, SPL punya solusi tunggal.
Solusi x (dari RREF)
  • x1 = 2
  • x2 = 3
  • x3 = -1
A⁻¹
43-1-2-2154-1

Tekan “Tampilkan langkah eliminasi” untuk melihat setiap OBE. Ubah angka-angkanya, misalnya buat baris ketiga sama dengan jumlah dua baris pertama, dan perhatikan determinannya menjadi 0.

Tiga kemungkinan solusi

Dari RREF terlihat…Jenis solusi
Setiap kolom variabel punya leading 1tunggal
Ada baris [0  0  ⋯  0∣c][0 \; 0 \; \cdots \; 0 \mid c] dengan c≠0c \ne 0tidak ada (inkonsisten)
Ada variabel bebas (kolom tanpa leading 1), dan konsistentak hingga banyak

Determinan & invers

Untuk matriks persegi AA, pernyataan-pernyataan berikut setara:

  • det⁡(A)≠0\det(A) \ne 0,
  • AA punya invers A−1A^{-1},
  • Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} punya solusi tunggal x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} untuk setiap b\mathbf{b},
  • RREF dari AA adalah matriks identitas II.

Invers dihitung dengan Gauss–Jordan pada [A∣I][A \mid I]: jika sisi kiri berhasil menjadi II, sisi kanan adalah A−1A^{-1}.

Untuk matriks 2×22 \times 2 ada rumus langsung:

[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
Cek pemahaman

  1. 1. Jika det(A) = 0, maka SPL Ax = b…

  2. 2. Operasi mana yang mengubah tanda determinan?

  3. 3. det dari [[2, 3], [4, 6]]?

Latihan UTS & UAS