UTS Matematika I 2025

Soal 1 — Limit dan informasi yang hilang

a. $(x^2+1)/(x-1)$

Jika yang dimaksud $x\to1$, pembilang mendekati 2, penyebut menuju nol. Dari kiri hasilnya $-\infty$, dari kanan $+\infty$, jadi limit dua sisi tidak ada. Untuk pendekatan $x\to a\ne1$, cukup substitusi menjadi $(a^2+1)/(a-1)$.

b. $(x^2+1)/(x^2-1)$

Jika $x\to1$, faktorkan penyebut $(x-1)(x+1)$: limit kiri $-\infty$, kanan $+\infty$; limit dua sisi tidak ada. Jika $x\to-1$, limit kiri $+\infty$, kanan $-\infty$. Untuk $a\ne\pm1$, hasilnya $(a^2+1)/(a^2-1)$. Pembilang $x^2+1$ tidak mengandung faktor real yang dapat dicoret dengan penyebut.

c. $x/\sin(\sin x)$

Dengan asumsi $x\to0$ dan sudut dalam radian:

$\frac{x}{\sin(\sin x)}=\frac{x}{\sin x}\frac{\sin x}{\sin(\sin x)}\longrightarrow1\cdot1=\boxed1.$

Ini memakai $\sin t/t\to1$ dua kali. Nilai fungsi di x = 0 tidak terdefinisi, tetapi limitnya ada. Jika titik pendekatannya berbeda dan penyebut tidak nol, gunakan substitusi langsung.

Soal 2 — Kontinu atau tidak pada x = 2

Suatu fungsi kontinu di 2 jika nilai fungsi ada, limit dua sisinya ada, dan keduanya sama.

a. Fungsi rasional tanpa nilai pengganti

Untuk $f(x)=(x^2-4)/(x-2)$, penyederhanaan menjadi x + 2 hanya sah ketika x ≠ 2. Limitnya 4 tetapi f(2) tidak terdefinisi, sehingga tidak kontinu. Lubang dapat ditutup dengan menetapkan f(2) = 4.

b. Nilai pengganti 3

Pada fungsi potongan dengan rumus rasional yang sama untuk x ≠ 2 dan f(2) = 3, limit tetap 4, berbeda dari nilai fungsi. Jadi tidak kontinu (diskontinuitas yang dapat dihilangkan).

c. Fungsi potongan x + 1 dan x² − 1

Untuk x < 2 gunakan x + 1; untuk x ≥ 2 gunakan x² − 1. Limit kiri 3, limit kanan 3, dan f(2) = 3, jadi kontinu. Kemiringan kiri 1 dan kanan 4 berbeda, sehingga kontinu tidak otomatis berarti diferensiabel.

Soal 3 — Diferensiabel di x = 1

Cabang kiri adalah $x^2+b$ dan cabang kanan $ax$. Kontinuitas mensyaratkan $1+b=a$. Turunan dari kiri 2 dan dari kanan a harus sama, sehingga $a=2$, lalu $b=1$. Dengan pasangan ini, kedua nilai fungsi di sambungan adalah 2 dan kedua kemiringannya juga 2.

Soal 4 — Asimtot

Naskah memperbolehkan memilih salah satu; keduanya dibahas di sini.

• a. $f(x)=(x^2+2x)/(x^2-1)$. Penyebut nol di −1 dan 1, pembilang tidak nol di sana. Asimtot tegak x = −1 dan x = 1. Derajat sama dan rasio koefisien utama 1 memberi asimtot mendatar y = 1 pada kedua arah tak hingga. Tidak ada asimtot miring.
• b. $f(x)=(x^2+2x)/(x^2+1)$. Penyebut selalu positif pada real, jadi tidak ada asimtot tegak. Asimtot mendatar y = 1; tidak ada asimtot miring. Fungsi boleh memotong asimtot mendatar (di x = 1/2); definisi asimtot tidak melarang perpotongan.

Soal 5 — Selang monoton dan ekstrem

a. $f(x)=(x^2-3x+1)/(x-3)$

Bagi polinomial: $f(x)=x+1/(x-3)$, domain x ≠ 3. Turunannya $f'(x)=1-1/(x-3)^2$. Titik stasioner x = 2 dan x = 4; x = 3 harus memisahkan interval karena fungsi tidak terdefinisi.

Interval	Tanda f′	Sifat
(−∞, 2)	+	naik
(2, 3)	−	turun
(3, 4)	−	turun
(4, ∞)	+	naik

Maksimum lokal (2,1) dan minimum lokal (4,5). Tidak ada maksimum/minimum global karena fungsi tidak terbatas di sekitar asimtot.

b. $f(x)=(x^2-2x+1)/(x-2)$

Dengan cara sama, $f(x)=x+1/(x-2)$ dan $f'(x)=1-1/(x-2)^2$. Fungsi naik pada (−∞,1) serta (3,∞); turun pada (1,2) serta (2,3). Maksimum lokal (1,0), minimum lokal (3,4), dan tidak ada ekstrem global.

Soal 6 — Meminimumkan luas kertas

x dan y pada gambar adalah ukuran luar kertas. Margin kiri/kanan masing-masing 2 cm dan atas/bawah masing-masing 4 cm. Karena luas tulisan 50 cm²:

$(x-4)(y-8)=50,\qquad x>4,\ y>8.$

Eliminasi y memberi $y=8+50/(x-4)$ dan luas kertas:

$A(x)=xy=8x+50+\frac{200}{x-4}.$

Syarat stasioner $A'(x)=8-200/(x-4)^2=0$ memberi x − 4 = 5 (akar negatif tidak memenuhi domain). Maka x = 9 cm, y = 18 cm, dan luas minimum 162 cm². Lebar/tinggi tulisan adalah 5 cm dan 10 cm. Karena $A''(x)=400/(x-4)^3>0$ untuk x > 4, titik ini minimum global pada domainnya.

Coba ukuran kertas · luas tulisan tetap 50 cm²

Lebar kertas x

9 cm

Tinggi kertas y

18 cm

Luas kertas

162 cm²

Tambahan dari minimum

0 cm²

Ukuran tulisan

5 × 10 cm

Tinggi berubah mengikuti y = 8 + 50/(x − 4). Margin kiri dan kanan masing-masing 2 cm; atas dan bawah masing-masing 4 cm.

Kembali ke minimum: 9 × 18 cm

Dari batas tulisan ke ukuran kertas

1 / 3

Tentukan variabel

Ukuran tulisan adalah x − 4 dan y − 8, bukan x dan y.

Luas tulisan50 cm²

Margin mendatar total4 cm

Margin tegak total8 cm

↺SebelumnyaPutarBerikutnyaLangkah