Mencari akar persamaan nonlinier

Banyak persamaan tidak bisa diselesaikan secara analitik, misalnya $\cos x = x$ atau $e^x = 3x$. Metode numerik mencari hampiran akarnya, yaitu nilai $x$ yang membuat $f(x) = 0$, lewat iterasi sampai cukup teliti.

Metode tertutup: biseksi

Jika $f$ kontinu dan $f(a) \cdot f(b) < 0$, maka (Teorema Nilai Antara) ada akar di $[a, b]$. Biseksi terus membagi dua selang:

1. $c = (a + b)/2$
2. Jika $f(a) \cdot f(c) < 0$, akar di $[a, c]$, sehingga $b \leftarrow c$. Jika tidak, $a \leftarrow c$.
3. Ulangi sampai $(b - a)/2 < \varepsilon$.

Biseksi selalu konvergen, dan jumlah iterasinya bisa dihitung di muka: $n \ge \log_2\!\left(\frac{b - a}{\varepsilon}\right)$. Kekurangannya, ia lambat (konvergensi linier).

Metode terbuka: Newton–Raphson & secant

Newton–Raphson memakai garis singgung: tarik garis singgung di $x_i$, potongkan dengan sumbu-x, lalu jadikan titik potong itu tebakan berikutnya.

Konvergensinya kuadratik: jumlah digit benar kira-kira berlipat dua setiap iterasi. Tapi butuh turunan $f'$, dan bisa divergen jika tebakan awal jauh atau $f'(x_i) \approx 0$.

Secant mengganti turunan dengan kemiringan dari dua titik terakhir, sehingga tidak perlu menghitung $f'$:

Bandingkan jumlah iterasi ketiga metode untuk fungsi yang sama dengan toleransi $10^{-6}$. Newton biasanya selesai dalam 4–6 iterasi, sementara biseksi butuh sekitar 20.

Galat dan kriteria berhenti

• Galat absolut: $|x_{i+1} - x_i|$
• Galat relatif: $\left|\frac{x_{i+1} - x_i}{x_{i+1}}\right|$
• Berhenti jika galat $< \varepsilon$, atau $|f(x_i)| < \varepsilon$, atau iterasi melebihi batas maksimum (wajib ada, untuk berjaga-jaga jika divergen).