Logika proposisi

Proposisi, operator logika, tabel kebenaran, tautologi, ekuivalensi, dan hukum-hukum logika.

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (T) atau salah (F), tidak keduanya. “Semarang ibu kota Jawa Tengah” adalah proposisi. “Tutup pintunya!” dan " $x > 3$ " (tanpa nilai $x$ ) bukan proposisi.

Operator

Operator	Notasi	Dibaca	Bernilai T jika…
Negasi	$\neg p$	tidak p	p salah
Konjungsi	$p \land q$	p dan q	keduanya benar
Disjungsi	$p \lor q$	p atau q	minimal satu benar
Exclusive or	$p \oplus q$	p xor q	tepat satu benar
Implikasi	$p \to q$	jika p maka q	selain p benar dan q salah
Bi-implikasi	$p \leftrightarrow q$	p jika dan hanya jika q	nilai keduanya sama

Tabel kebenaran interaktif

Ketik ekspresi apa saja. Kolom tengah menampilkan sub-ekspresi supaya proses perhitungannya kelihatan.

Operator: ! / ~ (¬), & (∧), | (∨), -> (→), <-> (↔), xor (⊕)

p	q	p → q	¬q	¬p	¬q → ¬p	(p → q) ↔ (¬q → ¬p)
T	T	T	F	F	T	T
T	F	F	T	F	F	T
F	T	T	F	T	T	T
F	F	T	T	T	T	T

Tautologi (selalu benar)

Proposisi majemuk dengan $n$ variabel punya $2^n$ baris. Berdasarkan kolom terakhirnya, proposisi disebut:

Tautologi: selalu T (contoh: $p \lor \neg p$ ),
Kontradiksi: selalu F (contoh: $p \land \neg p$ ),
Kontingensi: campuran.

Dua proposisi ekuivalen ( $p \equiv q$ ) jika $p \leftrightarrow q$ adalah tautologi. Contoh di tabel awal menunjukkan bahwa implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya: $(p \to q) \equiv (\neg q \to \neg p)$ .

Hukum-hukum logika

Hukum	Bentuk
De Morgan	$\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$ , $\quad \neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$
Implikasi	$p \to q \equiv \neg p \lor q$
Distributif	$p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$
Absorpsi	$p \lor (p \land q) \equiv p$
Negasi ganda	$\neg\neg p \equiv p$

Konvers, invers, kontraposisi

Dari implikasi $p \to q$ :

Konvers: $q \to p$
Invers: $\neg p \to \neg q$
Kontraposisi: $\neg q \to \neg p$ , satu-satunya yang selalu ekuivalen dengan implikasi aslinya.

Konvers dan invers ekuivalen satu sama lain (keduanya kontraposisi dari satu sama lain), tapi tidak ekuivalen dengan implikasi aslinya. Cek di tabel kebenaran: ketik (q -> p) <-> (!p -> !q).